Hinweise zum Programm

"Näherungsverfahren zur Bestimmung von Pi"

p (Pi) gibt das Verhältnis von Umfang zum Durchmesser
bei einem Kreis an. 

p = u / d 

Wie groß ist der Zahlenwert von p ?

Zum Verfahren: 
Wir betrachten einen Kreis als ein regelmäßiges n-Eck mit sehr, sehr
großer Eckenzahl.
Wir nähern uns "von innen" mit Hilfe von regelmäßigen
6-Ecken, 12-Ecken, 24-Ecken ...  24576-Ecken .... immer besser an die
Kreislinie an.

1.  Regelmäßiges Sechseck
Wir starten mit einem regelmäßigen Sechseck, das
einem Kreis mit dem Radius r = 1 LE einbeschrieben ist.

Das regelmäßige Sechseck lässt sich in 6 gleichseitige Dreiecke
zerlegen. 

Daher gilt: 
r = 1   und d = 2
a = 1 
u = 6 * a = 6
p » 6 / 2  

p » 3

2.  Regelmäßiges Zwölfeck
Wir berechnen im regelmäßigen Sechseck  mit Hilfe des gelb 
eingefärbten rechtwinkligen Dreiecks die Höhe h. 

Es gilt:
h² = r² - (^a/₂)²
h² = 1² - 0,5²
h = 0,866025404 

z = r - h
z = 1 -  0,866025404 
z = 0,133974596

Im türkisfarbenen rechtwinkligen Dreieck kann nun die Seitenlänge a'
beim regelmäßigen Zwölfecks berechnet werden.

a' ² = (^a/₂)² + z²
a' ² = 0,5² + 0,133974596²
a' = 0,51763809

Für den Umfang bei Zwölfeck erhält man nun:
u = 12 * a'
u = 12 * 0,51763809
u = 6,211657082

Der Näherungswert für p beträgt somit beim Zwölfeck:
p  » 6,211657082 / 2  

p  » 3,105828541

3.  Regelmäßiges Vierundzwanzigeck
Ersetze nun a durch  a'

Es gilt auch beim regelmäßigen Vierundzwanzigeck:
h² = r² - (^a/₂)²     sowie   z = r - h   und  a' ² = (^a/₂)² + z²

h² = 1² - (0,51763809 / 2) ²
h = 0,965925826

z = r - h
z = 1 -  0,965925826
z = 0,034074174

a' ² = (^a/₂)² + z²
a' ² = (0,51763809 / 2) ² + 0,034074174²
a' = 0,26105238
u = 24 * 0,26105238
u = 6,265257227

p » 3,132628613

usw.

Mit Hilfe eines  Basic-Programms kann das folgendermaßen realisiert werden:
(ohne Ausgabebefehle dargestellt)

'---- Startwerte (regelmäßiges Sechseck) ----------------
n = 6                                     'Ecken          
r = 1                                     'Radius         
a = 1                                     'Seitenlänge  

' ========= Hauptschleife  12 Eck, 24-Eck usw. =========
Do
       u = n * a                          'Umfang = Ecken * Seitenlänge
       pi = u / 2 * r                     'Näherungswert für Pi 
       h = Sqr(r * r - a * a / 4)         'Ber. h  mit Hilfe von Pythagoras
                                          'Sqr -> Quadratwurzel
       z = r - h                          'Hilfsgröße z

       '----Neues n-Eck: Doppelte Eckenzahl  ------------
       n = n * 2                          'Ecken = Ecken * 2
       a = Sqr(a * a / 4 + z * z)         'Ber. a mit Hilfe von Pythagoras

Loop Until Ecken > 40000                  ' Abbruch, wenn Eckenzahl > 40 000